比を使った問題の解き方


次のような問題はどうやって解きますか。


1.兄弟で部屋をかたづけようとしたら、本が45冊ありました。兄と弟の本を書棚に入れると、書棚を兄と弟がそれぞれ3:2の比で使っていることがわかりました。それぞれ本を何冊ずつ持っていることになりますか。


(解き方1)

わかりましたか。「え~と、兄が5分の3だから、兄の割合にもとにする数45冊をかけて…。兄が27冊。弟は452718冊です。」そうですね。それで正解です。


このとき別の解き方があります。


(解き方2)

比は足せると考えます。上の考えでも自然と5分の3というふうに比を足しています。慣れてくるとこのようにすぐに比を足して考えることができます。それを一歩進めて、上の問題では3+2=5です。比の1つ分が45÷59(冊)と出て来ます。兄はその3つ分だから9×327(冊)、弟は2つ分だから9×218(冊)となります。このように解くと分数の計算をしなくて済みます。


(解き方3)

兄の本をx冊とすると、弟は(45x)冊となります。等しい比の関係を使います。

3:2=x(45x)

3(45x)2x、 1353x2x、これを解いて x27冊、弟は452718


それではどれか上の方法のうち、確実にできる方法を選んで次の問題を解いてみましょう。


2.ゆづる君は280ページある本を冬休みで年内と年明けで43の比で読むことにしました。年内と年明け後にそれぞれ何ページずつ読むことになりますか。


(解き方1)

280×/7160280-160=120、 答え 年内160ページ、年明け後120ページ


(解き方2)

比を足すと4+3=7、 280÷7=40、比のひとつ分は40ページ。

年内は40×4160(ページ)、年明け後は40×3120(ページ)となります。(答え省略)


(解き方3)

年内をxページとすると、年明け後は(280x)ページ。等しい比の関係より

43x(280x)

4(280x)3x、これを解いて x160(ページ)、弟は280160120(ページ)

(答え省略)


どうですか。解けましたか。



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posted by あまがえる at 18:00Comment(0)数学1

不等号 以下と未満の違い

1の皆さんのなかで比例と反比例の単元がわかりにくい人いますか?ここで、小学校のおさらいで不等号の表し方が出てきます。さて問題です。


xのとる範囲が3以上5未満」


について不等号を使って表してみてください。「え~と、3<x<5仮名、いや違う、3≦x<5だった。」そうですね。最初の間違いは以上については3も入るから「≦」を使って3≦xとしないといけません。5未満については、5は入りませんから、x<5としないといけません。両者をあわせて3≦x<5とするとこたえになります。


さて、「未満」については別の言い方がありましたね。「うん、~より小さいだよ。」そうです。~未満と同じ意味で~より小さいを使います。反対に大きい場合は~より大きいを使います。


それから不等号を使うときには、間違いやすいので、右向きに大きいように不等号の向きをそろえて書く習慣をつけるといいです。必ず≦や<を使い、

4<x、0.8≦yなどと表すようにします。


>向きの不等号はなるべく使わないようにします。これは、<と>のどちらも使うようにすると、「大きい」、「小さい」の関係をうっかり間違いやすいからです。


したがって、4>xという表現は、ふつうはx<4と書きかえます。こうするとxは4より小さいな、というふうにすぐに理解できますし、間違いにくくなります。<br/><a  href="https://www.amazon.co.jp/gp/product/4053029090/ref=as_li_qf_sp_asin_tl?ie=UTF8&camp=247&creative=1211&creativeASIN=4053029090&linkCode=as2&tag=amagaeru01-22">中1数学をひとつひとつわかりやすく。―新学習指導要領対応</a><img src="http://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=amagaeru01-22&l=as2&o=9&a=4053029090" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />



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posted by あまがえる at 19:00Comment(0)数学1

円すい表面積

円すいの見取り図があって、母線と半径がわかっているとき、円すいの表面積を求めなさいという問題があったとします。

DSCN4094.JPG

こういうとき、もとの見取り図を見ながら解くのではなく、必ず展開図を手書きで適当でいいので書きます(下図)。するとどうですか、おうぎ形と円が描けたでしょうか。この円とおうぎ形の弧の部分はどこかで接していないといけませんよ。

展開図.JPG

こうして展開図が描けたら、問題で与えられているいる母線、つまり展開図でいえばおうぎ形の半径にあたります。そこに長さを書き入れます。そして元の見取り図の底面の半径、これを展開図の円の部分の半径として書き込みます。これで解く準備はOKです。


結局、円の面積と、おうぎ形の面積を計算する問題に変えることができたわけです。


角すいについても同様に、見取り図のままでなく、必ず展開図にして表面積を計算します。


そうすることで、どこの長さが必要で、どことどこを使って計算すればいいかがはっきり見えてきますし、取り違えのミスをしにくくなります。


これは三角すいや円柱の表面積などでも同じで、展開図にして表面積を求めれば、数え間違いや面積の出し忘れなどのミスを防ぐことが容易になります。



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posted by あまがえる at 18:00Comment(0)数学1

反比例のグラフは手書き

反比例のグラフをうまく書けるようになりましたか。グラフを書くときは手書きで十分です。


大学などになれば自在定規といって自由に曲線を描ける道具を使い実験データなどを美しく描くようになりますが、中学生の皆さんはまずは手書きで、わかる範囲でかけるようになってください。



何度か書いていくうちに手書きでもそこそこきれいに描けるようになるものです。学年が上がっていくと、図形やグラフの問題は自分で手書きで図を書いて解くようになります。



しかもその図を手早く描けるようになることが、数学を理解するうえで、そして要領よく解くために必要な作業になってきます。一言で言うと、「数学は手を動かして解く」と言えます。



私の中学の数学の先生は黒板にコンパスなしでいつもきれいに円を書くのがご自慢でした。本当にほれぼれするほどきれいな円です。図だけでなく文字もきれいな先生でした。日頃の研鑽(けんさん)でここまでになられたのでしょう。



数学で図を描くことをいつまでもおっくうがっていては上達は望めません。最初は変な図になっても構いません。どんどん書いていってぜひ数学ができるようになってくださいね。







posted by あまがえる at 19:00Comment(0)数学1

文字式のあつかい2

つぎの文字式の計算できますか。

 7a-4(2a-1)


「う~ん、ふつうは( )の中の計算が先だけど…。」そうですね。ふつう計算は( )があるとその中の計算を先にします。でも、この場合、( )の中の項は、2aと-1です。同類項ではないのでこれ以上の計算はできません。


したがって、分配法則を使ってまず、このように計算します。


 7a-4×2a-4×(-1)


そうして、つぎにかけ算のところを済ませます。うしろの(-1)には気をつけてください。


 7a-8a+4


となって、


(7-8)a+4


となって最後に


-a+4


と計算が完了します。「なんだ、こうすればいいのか。」そうです。<br/>PR<br/><a target="_blank"  href="https://www.amazon.co.jp/gp/search/ref=as_li_qf_sp_sr_tl?ie=UTF8&camp=247&creative=1211&index=aps&keywords=%E6%95%99%E7%A7%91%E6%9B%B8%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%80%80%E6%95%B0%E5%AD%A6&linkCode=ur2&tag=amagaeru01-22">教科書トレーニング 数学</a><img src="http://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=amagaeru01-22&l=ur2&o=9" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />



posted by あまがえる at 20:00Comment(0)数学1