証明は手順を追って

先日に続いて証明のお話。証明をするときの手がかりにはこういうものがあります。まとめてみます。


合同な図形では対応する線分の長さや角が等しい。

対頂角は等しい。

平行な2直線のつくる同位角や錯角は等しい。

三角形の内対角と外角は等しい。

三角形の合同条件(3つ)。


については三角形の合同を証明をするときに必ず用いますね。そのほかについても今のところこれだけです。


図形をみて仮定を書き込んでいき(2つ目までの条件は揃うはず)、最後の3つ目の条件を見つけ出す際に上の手がかりを順番に使えないか試していってください。


たいてい⑤を使う場合、合同条件のいずれか2つにまで絞り込めているはずです。最後の条件はその2つのうちのどちらかの合同条件のなかの1つの手がかりに限られていますから、その2つについて上の手がかり①~④が使えないか調べていけばよいです。

入試ポイント 関数

2の皆さんには読んでおくと参考になる情報です。


結構入試で差がつきやすいのが関数の問題。学校や通信教育では、中2の今の時点では関数は1,2年生で習った比例や一次関数に重点が置かれることが多いです。苦手な人が多い単元なので致し方ないところでしょう。ところがいざ入試問題となると圧倒的に3年のしかも最後の方で習うことの多い二次関数の出題が多いです。


このことは意外と大切なことで、入試の数学の大問を1問占めることが多いにも関わらず、おろそかにされがちです。小さな塾の周囲の中学校でも、教科書の二次関数の単元が終わったのが私立入試の1週間前というような年もあったぐらいです。


これではなかなか入試レベルの二次関数の問題が解けるようなレベルに持っていくことはなかなか難しいです。特に難関校を受けようとする場合には、早くから問題練習に慣れておく必要があります。入試は経験値を積めば明らかに解ける範囲が広がります。


[小さな塾」では中3の生徒は数学検定を1学期のうちに3級を取得することが多いですので、1学期のうちに二次関数については入試の基礎レベルまで行い、確実に3級を取得できるようにしています。そのまま夏休みで二次関数まで含めた全ての関数の問題を受験レベルに引き上げておきたいからです。


そうすると、相似や三平方の定理を使った平面図形や空間図形の総合問題練習を二学期の早くから解き始めることができますので、じつにゆっくりと受験勉強を進めることができます。<br/>PR<br/><a  href="https://www.amazon.co.jp/gp/product/4578220427/ref=as_li_qf_sp_asin_tl?ie=UTF8&camp=247&creative=1211&creativeASIN=4578220427&linkCode=as2&tag=amagaeru01-22">塾で教える高校入試 数学 塾技100 新装版 (高校入試 塾技)</a><img src="http://ir-jp.amazon-adsystem.com/e/ir?t=amagaeru01-22&l=as2&o=9&a=4578220427" width="1" height="1" border="0" alt="" style="border:none !important; margin:0px !important;" />





中間期末 連立方程式の文章題

一次方程式は何とかなったけれど、2年生で習う連立方程式の文章題になるとちょっと…。という人は読んでみてください。


連立方程式の文章題を特には手順があります。この手順に沿って解いていくとすんなり行くことが多いです。


問題文のなかで何をx、何をyにするか確認します。そうして問題文中のxとyのところの言葉をx、yに置き換えた文にします。どこで2通りの式に表されるか、線で区切ります。(連立方程式の準備)


それぞれの区切りの文の中で、xで表されるものを見つけ式で表してみます。同じくyで表されるものを見つけ式にします。区切りごとに簡単な表にして入れます。この表から等しくなる関係を2通りとも表します。(連立方程式が完成)


連立方程式中に分数があれば、分母に最小公倍数を掛けて整数の式にします。小数があれば10倍、100倍などして整数の式に整えます。(方程式を整数の式にする)


連立方程式を加減法で解きます。いずれか(あるいは両方)を数倍して加減法へ。代入法はめったに使いません。


連立方程式の答えを元の式に入れてみて、等号が成り立つか確かめます。答えが問いかけにふさわしいか確認して解答欄に書き込みます。


例題 ある学校の生徒の数は420人です。男子の25%、女子の20%が自転車で通っています。自転車で通学している生徒は合計で95人います。この学校の男子と女子の数をそれぞれ求めよう。


(解き方)まず①は、男子をx人、女子をy人でいいですね。文をx、yで置き換えてみます。


ある学校の生徒の数は420人です。xの25%、yの20%が自転車で通っています。自転車で通学している生徒は合計で95人います。この学校のxとyの数をそれぞれ求めよう。


どうやら、学校の生徒数と自転車通学の人数のふたつに大きく分けられることがわかります。表にします。

         男子()    女子()   合計()

学校の生徒数    x人      y人    420

自転車通学



自転車通学の人数を式で表してみましょう。

 %は割合にすかさず置き換えます。25%25/100です。く/もわの関係から自転車通学の男子の数は、「も」のxと「わ」で掛け算ですから、x×25/100です。20%は20/100ですから、同じく自転車通学の女子の数は、y×20/00となります。表にまとめると、

         男子()    女子()     合計()

学校の生徒数    x人      y人      420

自転車通学   x×25/100() y×20/100()   95


となり2つの関係がみつかりました。それぞれ等しい関係で式にしますと、「横に見ていけばいいよ。」そうですね。わかりますか。

連立1.JPG

となります。



整数の式にします。②の両辺を100倍します。( )をつけるとわかりやすいです。

100×(x×25/100 + y×20/100) 100×95

すると分母が約分されて、

  25+20y=9500

両辺を5で割って

  5x+4y=1900 …②’ 

つまり

連立2.JPG

を解けばよいことになりました。


この①と②’の連立方程式を解きます。「①を4倍すればいいよ。」そうです。それが早いですね。

  ②’・・・  5x+4y=1900

 ①×4・・・-)4x+4y=1680

x =220

x=220を①に代入して y=200


さて、x、yが求まりました。②’の左辺に入れてみます。

   5×220+4×2001900

たしかに成り立ちますね。答えとしてもふさわしいです。

  

 答え 男子220人、女子200  


長くなりました。最後までよく目を通してくれました。お疲れ様です。 


  





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立体のポイント 平面で解く

いつも試験問題には空間図形の問題が出てきますね。どうしてもここが苦手という人はまず読んでみてください。


立体の問題。この立体、ずっと眺めていても解けません。必ず問題のに書いてある条件を入れてみます。


それで終わりではありません。平面で置き換えます。目を付けた三角形や四角形について元の立体を見ながら(方向をそろえながら)、手書きで別の平面にします。その平面に条件や長さを書き入れると・・・。


すると様々な定理や条件が使えることが見えやすく、取り違えにくくなります。


立体の問題はこのように手書きで平面で置き換えて考えて易しくして解くことがポイントです。


一次関数のaの値の意味

中2の皆さんは、一次関数をよ~く復習しておかないと、これからもしや実力テストには必ずといってよいほど関数の問題が大問で1題入ってきます。20%近くですから大きいです。


一次関数の問題は、様々な言葉が出てくるので、頭が混乱したままの人が多いのではないでしょうか。特に一次関数で登場する用語の意味。今日はこのうち「変化の割合」についての説明です。


この「変化の割合」。よく考えると変な日本語ですが、これは一次関数や比例の式の場合には「傾き」と同じものです。「傾き」は一次関数の一般式y=ax+baにあたる定数、グラフの傾斜具合を知ることのできる値でしたね。


べつの捉え方をすると、ある一定の範囲でxが変化するときの、yの変化量:xの変化量のことです。比になっていますから比べる量÷もとにする量、つまり割合(比の値)を求めたものがaです。


したがってさまざまな問題の中で

 「…一次関数の式のaの値を求めよ。」

 「…一次関数の式の変化の割合を求めよ。」

 「…一次関数の式の傾きを求めよ。」

 「…一次関数の式のxの変化量に対するyの変化量の割合を求めよ。」

さらに比例の式y=axb0の一次関数としてみると

 「…比例の式の比例定数を求めよ。」

はどれも同じものを求めることになるわけです。


ただし、二次関数の場合にはそうは行きません。これは3年生で習うことですが、変化の割合はxの範囲のとり方次第で異なります。つまり一定ではありません。ここは注意が必要なところです。たとえば、-2<x<5までの範囲などのように、xの変化する範囲が、負の数から正の数までの範囲になるときは注意が必要でした。